Üs Alma Kuralları ve Örnekler: aⁿ, negatif ve kesirli üs
Üslü sayılar, uzun çarpımları kısa yazmanın yoludur. Ama asıl güç, birkaç üs kuralını ezberleyip işlemleri saniyeler içinde sadeleştirmektir. Bu rehberde sekiz temel özdeşliği tek tabloda topluyor, her birini örnekle açıklıyor ve en çok yapılan hataları gösteriyoruz.
Üs alma nasıl yapılır?
Bir üslü ifadede iki parça vardır: taban (kaç kez çarpılacak sayı) ve üs ya da kuvvet (kaç kez çarpılacağı). a tabanı, n üssü olmak üzere aⁿ okunuşu "a üzeri n" veya "a'nın n. kuvveti"dir. Kuralların hepsi bu basit tanımdan türer; ezberlemek yerine bir örnekle türetmek çoğu zaman daha kalıcıdır. Aşağıdaki her kuralı istediğiniz zaman üslü ve köklü sayı hesaplayıcısında deneyerek doğrulayabilirsiniz.
Sekiz temel üs kuralı — tek tabloda
Aşağıdaki tablo, ortaokuldan üniversiteye kadar işinize yarayacak sekiz özdeşliği ve her biri için sayısal bir örneği içerir:
| Kural | Formül | Örnek |
|---|---|---|
| Çarpım (aynı taban) | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³·2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Bölüm (aynı taban) | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁵÷5² = 5³ = 125 |
| Üssün üssü | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Çarpımın kuvveti | (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ | (2·3)² = 6² = 36 |
| Bölümün kuvveti | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (4/2)³ = 4³/2³ = 8 |
| Sıfır üs | a⁰ = 1 (a≠0) | 7⁰ = 1 |
| Negatif üs | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 = 0,125 |
| Kesirli üs | a^(p/n) = ⁿ√(aᵖ) | 8^(2/3) = ∛64 = 4 |
Kaynak: standart cebir özdeşlikleri. Kurallar yalnızca tanımlı tabanlar için geçerlidir (ör. bölmede a≠0).
Çarpma ve bölme: üsleri topla, çıkar
Neden topluyoruz? Çünkü 2³ · 2⁴ aslında (2·2·2)·(2·2·2·2) demektir; toplam yedi tane 2 çarpılır, yani 2⁷. Aynı mantıkla bölmede çarpanlar sadeleşir ve üsler çıkarılır. Üssün üssü kuralı da buradan gelir: (3²)³, 3²'yi üç kez çarpmaktır, bu da üsleri çarpmak demektir: 3⁶.
Negatif ve sıfır üs
Negatif üsleri anlamanın en kolay yolu bölme kuralıdır: a² ÷ a⁵ = a²⁻⁵ = a⁻³ ama aynı bölme a²/a⁵ = 1/a³'tür. İkisi eşit olduğuna göre a⁻³ = 1/a³ olmak zorundadır. Aynı zincir a⁰ = 1 sonucunu da verir. Tek istisna tabanın sıfır olmasıdır: 0⁻ⁿ paydada sıfır oluşturacağı için tanımsızdır.
Kesirli üs ve kök ilişkisi
Kesirli üsler, kökleri de üs kurallarıyla işlemenin kapısını açar. Örneğin √a · √a = a^(1/2) · a^(1/2) = a¹ = a; bu, karekökün tanımının bir üs kuralı olarak yeniden ifadesidir. Bir sonraki adım köklü ifadeleri sadeleştirmektir; bunun ayrıntılı yöntemini "Köklü Sayı Nasıl Sadeleştirilir?" yazısında bulabilirsiniz.
Sık yapılan üç hata
- (a+b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ. Üs, toplamın içine dağılmaz. (3+4)² = 49'dur, 3²+4² = 25 değil. Doğrusu (a+b)² = a² + 2ab + b².
- −2⁴ ile (−2)⁴ farklıdır. Parantez yoksa üs yalnızca sayıyı etkiler: −2⁴ = −(2⁴) = −16. Parantezle taban negatif olur: (−2)⁴ = 16.
- Farklı tabanda üs toplanmaz. 2³ · 5³ ifadesinde üsler toplanmaz; ancak çarpımın kuvveti kuralıyla (2·5)³ = 10³ = 1000 yazılabilir.
Üs ve kökü adım adım hesapla
Negatif, kesirli veya büyük üsleri, karekök ve n. dereceden kökü kesin + ondalık sonuçla; her adımı görerek doğrulayın.
Hesaplayıcıyı Aç →