Karekök El ile Nasıl Hesaplanır? Uzun bölme yöntemi
Hesap makinesi olmadan da bir sayının karekökünü istediğiniz basamağa kadar bulabilirsiniz. Bu rehberde üç yöntem var: rakamları ikişerli gruplayan uzun bölme yöntemi, hızlı tahmin–düzeltme (Babil) yöntemi ve iki tam kare arasında sıkıştırma — √2025 ve √2 örnekleriyle adım adım.
Karekök el ile nasıl hesaplanır?
Karekök almak, karesi o sayıya eşit olan değeri bulmaktır: √a = b ⇔ b² = a. Tam kareler için sonuç bir tam sayıdır; diğerleri irrasyoneldir ve ondalık olarak yaklaşılır. Aşağıdaki yöntemleri üslü ve köklü sayı hesaplayıcısıyla anında doğrulayabilirsiniz.
Yöntem 1: Uzun bölme — √2025 = 45
Bu yöntem, kalem–kağıtla kesin sonuç veren tek yöntemdir ve ondalık basamak sayısını istediğiniz kadar uzatabilirsiniz. √2025'i adım adım bulalım:
2025 → 20 | 254² = 16). Sonuca 4 yaz, 20 − 16 = 4 kalanı bırak.25'i indir → 425. Şu ana kadarki kökü ikiye katla: 4 × 2 = 8.(80 + x)·x ≤ 425 olan en büyük x: 85 × 5 = 425. Kökün yanına 5 yaz.425 − 425 = 0. Kalan sıfır → sayı tam kare → √2025 = 45.Sayı tam kare değilse kalan sıfır çıkmaz; köke virgül koyup sağa 00 çiftleri ekleyerek ondalık basamaklara devam edersiniz. Böylece √2'yi de istediğiniz hassasiyette bulabilirsiniz.
Yöntem 2: İki tam kare arasında sıkıştırma
İnceltmek için doğrusal ara değer kullanın: √50 için 50, 49 ile 64 arasında 1/15 kadar ilerlemiştir; 7 + 1/15 ≈ 7,067. Gerçek değer 7,071 olduğundan tahmin oldukça iyidir. Bu yaklaşım, sınavda seçenekleri hesap makinesiz elemenizi sağlar.
| Sayı | Arası | Yaklaşık kök |
|---|---|---|
| √20 | 16 (4²) – 25 (5²) | ≈ 4,47 |
| √50 | 49 (7²) – 64 (8²) | ≈ 7,07 |
| √90 | 81 (9²) – 100 (10²) | ≈ 9,49 |
| √150 | 144 (12²) – 169 (13²) | ≈ 12,25 |
Kaynak: iki komşu tam kare arasında doğrusal ara değerleme. Kök, alttaki tam kareye ne kadar yakınsa tahmin o kadar isabetlidir.
Yöntem 3: Tahmin–düzeltme (Babil yöntemi)
Babil (Newton–Raphson) yöntemi, bilgisayarların bugün bile kullandığı fikirdir. Sezgisi basittir: tahmininiz gerçek kökten büyükse a/x küçük olur, ikisinin ortalaması gerçek değere yaklaşır. √2 için adımlar:
| Adım | Tahmin (x) | (x + 2/x)/2 |
|---|---|---|
| 0 | 1,5 | 1,41667 |
| 1 | 1,41667 | 1,41422 |
| 2 | 1,41422 | 1,41421 |
Kaynak: x_(n+1) = (x_n + a/x_n)/2 iterasyonu (a = 2). Gerçek değer √2 ≈ 1,41421356.
Hangi yöntem ne zaman?
- Kesin ondalık gerekiyorsa → uzun bölme; basamak basamak istediğiniz kadar ilerler.
- Hızlı zihinsel tahmin gerekiyorsa → iki tam kare arasında sıkıştırma.
- Az adımda yüksek hassasiyet gerekiyorsa → Babil yöntemi; 3–4 adımda 8 basamak.
Sonucun köklü biçimini de merak ediyorsanız (√50 = 5√2), sadeleştirmeyi "Köklü Sayı Nasıl Sadeleştirilir?" yazısında, kesirli üs–kök ilişkisini ise üs alma kuralları yazısında bulabilirsiniz.
Karekökü kesin + ondalık olarak al
Elle bulduğunuz sonucu doğrulayın: araç hem sadeleştirilmiş köklü biçimi (√50 = 5√2) hem de seçtiğiniz basamağa kadar ondalık değeri adım adım verir.
Karekök Hesapla →