EBOB (OBEB) Nasıl Bulunur? 3 yöntem ile adım adım
En büyük ortak bölen (EBOB / OBEB), sınavların ve günlük problemlerin klasiğidir ama çoğu öğrenci tek bir yöntem ezberler. Bu rehberde EBOB'u asal çarpanlara ayırma, bölme (merdiven) yöntemi ve Öklid algoritması ile üç ayrı biçimde, örnek tablolarla ve nerede hata yapıldığını göstererek hesaplıyoruz.
EBOB nasıl bulunur?
Yani "EBOB nedir, nasıl hesaplanır?" sorusunun özü tek cümledir: ortak asalların en küçük üsleri. Aşağıda bu mantığı üç farklı yöntemle uyguluyor, hangisinin ne zaman kullanışlı olduğunu gösteriyoruz. Kendi sayılarınızı denemek için EBOB EKOK hesaplayıcısını kullanabilir, sonuçları adım adım görebilirsiniz.
EBOB (OBEB) nedir?
EBOB, "en büyük ortak bölen" demektir; iki veya daha fazla tam sayının hepsini birden kalansız bölebilen sayıların en büyüğüdür. Ders kitaplarında aynı kavram OBEB (ortak bölenlerin en büyüğü) olarak da geçer — ikisi tamamen aynıdır.
Bu "bölenleri listeleme" yöntemi küçük sayılarda işe yarar ama sayılar büyüdükçe zahmetlidir. Bu yüzden üç sistematik yöntem kullanılır.
Yöntem 1: Asal çarpanlara ayırma
12 ve 18 için asal çarpanlara ayıralım:
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
| Asal çarpan | 12'deki üs | 18'deki üs | EBOB için seçilen (en küçük) |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 1 | 2¹ |
| 3 | 1 | 2 | 3¹ |
| Sonuç | EBOB = 2¹ × 3¹ | 6 | |
Bir asal yalnızca sayıların birinde varsa (ortak değilse) EBOB'a alınmaz. EKOK'ta ise en büyük üsle alınır.
Yöntem 2: Bölme (merdiven) yöntemi
Bölme yöntemi, sayıları yan yana yazıp hepsini aynı anda bölen asal sayılarla adım adım küçültmeye dayanır. EBOB için yalnızca tüm sayıları birden bölen asallar soldan yazılır; bu asalların çarpımı EBOB'tur.
| Bölen (ortak asal) | 1. sayı | 2. sayı |
|---|---|---|
| 2 | 12 | 18 |
| 3 | 6 | 9 |
| Kalan (dur) | 2 | 3 |
2 ile böldük (12→6, 18→9), sonra 3 ile böldük (6→2, 9→3). Artık 2 ile 3'ün ortak böleni kalmadı (aralarında asal), o yüzden dururuz. Soldaki bölenleri çarparız: EBOB = 2 × 3 = 6. Bu yöntemin güzel yanı, EKOK'u da aynı tabloda devam ettirerek bulabilmenizdir.
Yöntem 3: Öklid algoritması
48 ve 36'nın EBOB'unu Öklid ile bulalım:
- 48 = 36 × 1 + 12 (kalan 12)
- 36 = 12 × 3 + 0 (kalan 0)
Kalan sıfır olduğunda son bölen olan 12, EBOB'tur: EBOB(48, 36) = 12. Yöntem, çok basamaklı sayılarda bile birkaç adımda sonuç verdiği için bilgisayarların da kullandığı yoldur.
Adımları hazır tablo olarak gör
Sayılarınızı girin; hesaplayıcı asal çarpan tablosunu, bölme (merdiven) adımlarını ve Öklid satırlarını aynı anda gösterip ortak bölenleri listeler.
48 ve 36'yı Hesapla →Sık aranan EBOB değerleri
Aşağıdaki tablo en çok sorulan örnekleri toplu gösterir. Bir satıra dokunmak isterseniz hesaplayıcıda adım adım çözümünü açabilirsiniz.
| Sayılar | EBOB | EKOK |
|---|---|---|
| 12 ve 18 | 6 | 36 |
| 24 ve 36 | 12 | 72 |
| 8 ve 12 | 4 | 24 |
| 15 ve 25 | 5 | 75 |
| 8 ve 15 (aralarında asal) | 1 | 120 |
| 24, 36 ve 48 | 12 | 144 |
Kaynak: BirAraçta EBOB EKOK motoru (asal çarpanlara ayırma + Öklid algoritması ile doğrulanır).
EBOB bulurken sık yapılan hatalar
- En küçük yerine en büyük üs almak: Bu EKOK verir, EBOB değil. EBOB'ta ortak asallar en küçük üsle alınır.
- Ortak olmayan asalı katmak: Bir asal yalnızca tek sayıda varsa EBOB'a girmez. 12 = 2²×3, 25 = 5² → ortak asal yok, EBOB = 1.
- Bölme yönteminde tümünü bölmeyen asalı kullanmak: EBOB için soldaki asal bütün sayıları bölmelidir; yalnızca bazılarını bölen asal EBOB'a değil EKOK'a aittir.
- Öklid'de kalanı değil böleni yanlış taşımak: Yeni adımda bölünen = eski bölen, bölen = eski kalandır.