EBOB-EKOK Problemleri ve Çözümleri
EBOB ve EKOK hesaplamayı bilmek yetmez; asıl zorluk problemde hangisini kullanacağını seçmektir. Bu rehberde önce "EBOB mu EKOK mu?" ayrımını nettleştiriyor, ardından gruplama, senkron (tur/ışık) ve kalanlı klasik soru tiplerini adım adım çözüyoruz.
İçindekiler
EBOB mu EKOK mu kullanacağım?
Kısa cevap
"En fazla, en büyük, eşit ve en büyük gruplara bölme, en uzun eşit parça" diyorsa EBOB; "en az, en küçük, tekrar birlikte olma, aynı anda başa dönme, ortak payda" diyorsa EKOK kullan. Kabaca: bölme/paylaştırma → EBOB, tekrarlama/buluşma → EKOK.
Bir doğrulama daha var: EBOB sonucu her zaman sayılardan küçük ya da eşit, EKOK sonucu ise büyük ya da eşit çıkar. Cevabın büyüklüğü mantığı tutuyor mu diye kontrol edebilirsin. Aşağıdaki problemleri çözerken sonuçları EBOB EKOK hesaplayıcısıyla teyit edebilirsin.
Anahtar kelimelerle hızlı ayrım
| İfade / bağlam | Kavram |
|---|---|
| "En fazla kaç eşit grup / paket" | EBOB |
| "En büyük eşit parça / en uzun boy" | EBOB |
| "Kesri sadeleştir" | EBOB |
| "Kaç dakikada bir birlikte / aynı anda" | EKOK |
| "En az kaç ... / en küçük sayı" | EKOK |
| "Ortak paydada topla" | EKOK |
Problem 1: En fazla eşit grup (EBOB)
Soru
Bir kırtasiyede 24 kırmızı ve 36 mavi kalem var. Renkleri karıştırmadan, her pakette eşit sayıda olacak şekilde en fazla kaç eşit paket yapılabilir? Her pakette kaç kalem olur?
Çözüm: "En fazla eşit paket" dediği için EBOB kullanılır. 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3² → EBOB = 2² × 3 = 12 paket. Her pakette 24 / 12 = 2 kırmızı ve 36 / 12 = 3 mavi, toplam 5 kalem olur.
Bu tip "eşit ve en fazla gruba böl" problemleri hep aynı kalıptadır: nesne sayılarının EBOB'u grup sayısını, her sayının EBOB'a bölümü de grup içeriğini verir.
Problem 2: En uzun eşit parça (EBOB)
Soru
48 cm ve 72 cm uzunluğunda iki ip, hiç artık kalmadan aynı boyda en uzun eşit parçalara bölünecek. Bir parça kaç cm olur ve toplam kaç parça elde edilir?
Çözüm: "En uzun eşit parça" yine EBOB'tur. 48 = 2⁴ × 3, 72 = 2³ × 3² → EBOB = 2³ × 3 = 24 cm. İlk ipten 48 / 24 = 2, ikinci ipten 72 / 24 = 3 parça çıkar; toplam 5 parça.
Gruplama sonuçlarını doğrula
Hesaplayıcı EBOB'u adım adım gösterir ve ortak bölenleri listeler; bir sayının EBOB'a bölümünü kafadan yapmana gerek kalmaz.
48 ve 72 için EBOB Hesapla →Problem 3: Birlikte tekrar / ışık senkronu (EKOK)
Soru
Üç uyarı lambası sırasıyla 4, 6 ve 8 saniyede bir yanıp sönüyor. Üçü birlikte yandıktan sonra, en az kaç saniye sonra yeniden aynı anda yanar?
Çözüm: "Aynı anda yeniden" ve "en az" ifadeleri EKOK gerektirir. 4 = 2², 6 = 2 × 3, 8 = 2³ → EKOK = 2³ × 3 = 24 saniye. Üç lamba her 24 saniyede bir birlikte yanar.
Bu, "kaç dakikada/saniyede bir birlikte olur?" tipinin tam kalıbıdır: periyotların EKOK'u, ortak buluşma zamanını verir.
Problem 4: Pistte başa dönme (EKOK)
Soru
Bir pisti tam bir turda A koşucusu 12 dakikada, B koşucusu 18 dakikada tamamlıyor. Aynı anda başlangıç çizgisinden yola çıkarlarsa, en az kaç dakika sonra ikisi de aynı anda başlangıç çizgisinde olur?
Çözüm: İkisinin de başlangıçta olması, tur sürelerinin ortak katıdır → EKOK. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² → EKOK = 2² × 3² = 36 dakika. Bu sürede A, 36 / 12 = 3 tur; B, 36 / 18 = 2 tur atmış olur.
Problem 5: Kalan veren en küçük sayı (EKOK)
Soru
4, 5 ve 6 ile bölündüğünde her seferinde 3 kalan veren en küçük doğal sayı kaçtır?
Çözüm: Önce 4, 5, 6'ya tam bölünen en küçük sayı EKOK ile bulunur: 4 = 2², 5, 6 = 2 × 3 → EKOK = 2² × 3 × 5 = 60. Her bölmede 3 kalan istendiği için kalanı ekleriz: 60 + 3 = 63. Kontrol: 63 = 4×15+3, 63 = 5×12+3, 63 = 6×10+3. ✔
Kural
"n1, n2, n3 ile bölününce hep r kalan veren en küçük sayı" = EKOK(n₁, n₂, n₃) + r. Kalan sorulmuyorsa (tam bölünen en küçük sayı) cevap doğrudan EKOK'tur. "Hepsinden 2 eksik / hepsine 1 kala" gibi ifadelerde ise EKOK'tan çıkarma yapılır.
Çözümlü problemlerin özeti
| Problem | Kavram | Sonuç |
|---|---|---|
| 24 & 36 kalem — en fazla paket | EBOB(24, 36) | 12 paket |
| 48 & 72 cm ip — en uzun parça | EBOB(48, 72) | 24 cm |
| 4, 6, 8 sn ışık — birlikte yanma | EKOK(4, 6, 8) | 24 sn |
| 12 & 18 dk tur — başa dönme | EKOK(12, 18) | 36 dk |
| 4, 5, 6 ile bölününce 3 kalan | EKOK(4, 5, 6)+3 | 63 |
Kaynak: BirAraçta EBOB EKOK motoru; her sonuç asal çarpanlara ayırma ve EBOB × EKOK ilişkisiyle doğrulanmıştır.
Sık sorulan sorular
EBOB mu EKOK mu olduğunu nasıl anlarım?
"En fazla, en büyük, eşit gruplara bölme, en uzun parça" → EBOB. "En az, en küçük, birlikte tekrar, aynı anda başa dönme, ortak payda" → EKOK. Ayrıca EBOB sonucu sayılardan küçük/eşit, EKOK büyük/eşit çıkar.
Gruplama problemi neden EKOK değil EBOB?
Çünkü nesneleri eşit paylaştırıyorsun; grup boyutu ancak sayıların ortak bir böleni olabilir ve "en fazla grup" en büyük ortak böleni ister. Tekrarlanan olaylarda ise ortak kat gerektiği için EKOK kullanılır.
"En az kaç sayı" problemi hep EKOK mu?
Çoğunlukla evet: verilen sayılara tam bölünen ya da sabit kalan veren en küçük sayı isteniyorsa EKOK'tur. Kalan veriliyorsa EKOK'a kalanı eklersin (ör. EKOK + 3).
Kesir toplarken neden EKOK gerekir?
Kesirleri toplamak için ortak payda gerekir; en küçük ortak payda, paydaların EKOK'udur. Örneğin 1/12 + 1/18'de ortak payda EKOK(12, 18) = 36 alınır.
Üç sayılı problemlerde de aynı yöntem geçerli mi?
Evet, mantık aynıdır; yalnızca (a × b) / EBOB kısayolu iki sayıya özeldir. Üç ve daha fazla sayıda asal çarpan (EBOB için en küçük, EKOK için en büyük üs) veya bölme yöntemi kullanılır.
İlgili rehberler
Metodoloji & dayanak. Problemlerdeki tüm sonuçlar aritmetiğin temel teoremi, Öklid algoritması ve iki sayı için geçerli EBOB × EKOK = a × b ilişkisiyle hesaplanıp doğrulanmıştır; örnekler BirAraçta EBOB EKOK motoruyla üretilmiştir. Son güncelleme: 14 Temmuz 2026. Yazı eğitim amaçlıdır; sonuçları hesaplayıcıyla teyit edebilirsiniz.