İkinci Derece Denklem Çözücü

ax²+bx+c=0 formunda katsayılarını gir; diskriminant (Δ), gerçek veya karmaşık kökler, Vieta doğrulaması, tepe noktası ve parabol grafiği anında hesaplansın — adım adım karekök formülü gösterimiyle.

Denklemi yapıştır (opsiyonel — otomatik a, b, c'ye çevirir)

Serbest biçimli denklemi otomatik olarak a, b, c'ye getir (ör. 2x² + 3x = 2, x² = 5x − 6). x² için ² veya ^2 yazabilirsin.

a (x² katsayısı)

b (x katsayısı)

c (sabit terim)

a≠0 olmalı. Ondalık için virgül/nokta, negatif için “−”, kesir için “3/4” biçimini kullanabilirsin. Örnekler:

Karmaşık kök gir (a ± bi)Kapalıyken iki gerçek kök girilir

Kök x1

Kök x2

Baş katsayı a

Kökleri bilinen bir denklemi Vieta formüllerinin tersini kullanarak kur. Örnekler:

⚙️ Gelişmiş ayarlar — ondalık basamak, adım adım, grafik

Ondalık basamak

Adım adım çözümΔ, karekök, kök hesabı ayrı satırlarda

Parabol grafiğiSatır içi SVG ile görsel özet

Δ = b² − 4acDiskriminant formülü

x=(−b±√Δ)/2aKök bulma formülü

x₀ = −b/2aTepe noktası (simetri ekseni)

x1+x2=−b/aVieta: kök toplamı/çarpımı

⚙️ Doğruluk & kapsam notu: Bu araç yalnızca gerçek katsayılı (a, b, c ∈ ℝ) ikinci derece denklemleri ax²+bx+c=0 biçiminde çözer; a=0 girildiğinde denklem birinci dereceye düşer ve ayrı uyarı gösterilir. Formüller standart cebir/analitik geometri kaynaklarına dayanır ve zamanla değişmeyen (evergreen) matematiksel kurallardır; yıllık güncelleme gerektirmez. Sonuçlar seçtiğiniz ondalık basamağa yuvarlanarak gösterilir.

İkinci derece denklem nedir, nasıl çözülür?

Diskriminant, kök bulma formülü, Vieta formülleri, tepe noktası, çarpanlarına ayırma ve tam kareye tamamlamanın tam açıklaması.

İkinci derece (kuadratik) denklem, ax²+bx+c=0 (a≠0) biçiminde yazılan, en yüksek üssü 2 olan bir denklemdir. Bu tür denklemlerin çözümü, katsayıların işaretine bağlı olarak iki farklı gerçek kök, tek (çift) bir gerçek kök veya iki karmaşık kökle sonuçlanır. Bu araç, hem kökleri bulma hem de bilinen köklerden denklem kurma (Vieta'nın tersi) yönünde çalışır.

Diskriminant (Δ) nedir ve nasıl yorumlanır?

Kısa cevapDiskriminant Δ=b²−4ac, kök bulma formülünün karekök içindeki terimidir ve kök yapısını belirler: Δ>0 ise iki farklı gerçek kök, Δ=0 ise tek (çift) gerçek kök, Δ<0 ise iki karmaşık (eşlenik) kök vardır. Denklemi çözmeden önce hesaplanan ilk ve en önemli adımdır.

Delta negatifse ne olur? (karmaşık kökler)

Kısa cevapΔ<0 olduğunda denklemin gerçek kökü yoktur; kökler birbirinin eşleniği olan iki karmaşık sayıdır ve x=p+qi, x=p−qi biçiminde yazılır (p=−b/2a, q=√|Δ|/2a). Grafikte bu, parabolün x-eksenini hiç kesmediği anlamına gelir — a>0 ise parabol tamamen üstte, a<0 ise tamamen altta kalır.

Kök bulma formülü (karekök formülü) nedir?

Kısa cevapKök bulma formülü x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a'dır. a, b, c katsayıları yerine yazılır, önce Δ=b²−4ac hesaplanır, karekökü alınır ve ± işaretiyle iki kök (Δ=0 ise tek kök) bulunur. Bu formül her a≠0 gerçek katsayılı denklem için geçerlidir.

Vieta formülleri nedir?

Kısa cevapVieta formülleri, köklerle katsayılar arasındaki ilişkidir: kök toplamı x1+x2=−b/a, kök çarpımı x1·x2=c/a'dır. Bulunan kökleri hızlıca doğrulamaya, denklemi çözmeden toplam/çarpımlarını bulmaya ve kökten denklem kurmaya (bu aracın "Köklerden Denklem" modu) yarar.

Parabolün tepe noktası nasıl bulunur?

Kısa cevapy=ax²+bx+c parabolünün tepe noktası x₀=−b/2a, y₀=c−b²/4a (eşdeğer olarak −Δ/4a) formülleriyle bulunur. a>0 ise tepe noktası minimum, a<0 ise maksimumdur; simetri ekseni x=x₀ doğrusudur.

Çarpanlarına ayırma ve tam kareye tamamlama

Kısa cevapGerçek sayılarda çarpanlarına ayırma yalnızca Δ≥0 iken mümkündür: a(x−x1)(x−x2). Tam kareye tamamlama ise her durumda geçerlidir ve ifadeyi a(x−x₀)²+y₀ biçimine çevirir; bu biçim tepe noktasını doğrudan gösterir ve kök bulma formülünün türetildiği yöntemdir.

İlgili hesaplayıcılar: tepe noktası, doğrusal denklem & Vieta

İkinci derece denklemle ilgili sık kullanılan yan hesaplamaları da tek tıkla yap.

📍Tepe noktası hesaplayıcı

y=ax²+bx+c parabolünün tepe noktasını ve açılış yönünü hızlıca bul.

📏Doğrusal denklem çözücü

Birinci derece ax+b=0 denklemini çöz (a≠0).

🔗Vieta doğrulayıcı

İki kökten toplam, çarpım ve a=1 için b, c katsayılarını üret.

Referans tabloları & örnekler

Alıntılanabilir diskriminant/kök tablosu, örnek denklemler ve Vieta formülleri özeti.

Diskriminant (Δ) işaretine göre kök durumu
Δ durumu	Kök sayısı/türü	Grafik / x-ekseni
Δ > 0	2 farklı gerçek kök	x-eksenini 2 noktada keser
Δ = 0	1 (çift) gerçek kök	x-eksenine tepe noktasında değer
Δ < 0	2 karmaşık (eşlenik) kök	x-eksenini hiç kesmez

Örnek denklemler ve kökleri
Denklem	Δ	Kökler
x² − 5x + 6 = 0	1	x1=3, x2=2
x² − 4x + 4 = 0	0	x=2 (çift kök)
x² + 2x + 5 = 0	−16	x=−1±2i
2x² + 3x − 2 = 0	25	x1=0,5, x2=−2
x² − 1 = 0	4	x1=1, x2=−1

Bu değerleri yukarıdaki hesaplayıcının "Örnekler" çiplerinden tek tıkla deneyebilirsin.

Vieta formülleri özeti (ax²+bx+c=0)
Büyüklük	Formül
Kök toplamı	x1 + x2 = −b/a
Kök çarpımı	x1 · x2 = c/a
Tepe noktası (x₀)	−b/2a
Tepe noktası (y₀)	c − b²/4a = −Δ/4a

Denklem terimleri sözlüğü

İkinci derece denklemlerde geçen temel kavramların kısa tanımları.

Diskriminant (Δ)b²−4ac ifadesi; kök sayısını ve türünü belirler.

KökDenklemi sağlayan, yani sonucu 0 yapan x değeri.

Reel kökGerçek sayılar kümesine ait kök; Δ≥0 iken vardır.

Karmaşık kökΔ<0 iken ortaya çıkan, a+bi biçimindeki eşlenik kök çifti.

Paraboly=ax²+bx+c fonksiyonunun grafiği; a>0 ise açılışı yukarı, a<0 ise aşağıdır.

Tepe noktasıParabolün minimum veya maksimum noktası: (−b/2a, −Δ/4a).

Simetri ekseniParabolü ikiye ayıran, tepe noktasından geçen düşey doğru x=−b/2a.

Vieta formülleriKök toplamı ve çarpımını katsayılarla ilişkilendiren x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a eşitlikleri.

Çarpanlarına ayırmaİfadeyi a(x−x1)(x−x2) çarpımı biçiminde yazma; Δ≥0 iken gerçek sayılarda mümkündür.

Tam kareye tamamlamaax²+bx+c ifadesini a(x−x₀)²+y₀ biçimine dönüştürme yöntemi.

KatsayıDenklemdeki a, b, c sabitleri; a x²'nin, b x'in, c sabit terimin katsayısıdır.

y-ekseni kesim noktasıx=0 için elde edilen (0, c) noktası; grafiğin y eksenini kestiği yer.

Derinlemesine rehberler

İkinci derece denklemlerle ilgili sık merak edilen konulara ayrıntılı yanıtlar.

Diskriminanta göre kaç kök olduğu nasıl anlaşılır?

Bir ikinci derece denklemin kaç ve ne tür köke sahip olduğunu anlamak için tek yapmanız gereken Δ=b²−4ac işaretine bakmaktır. Δ pozitifse iki farklı gerçek kök, sıfırsa bir (çift) gerçek kök, negatifse iki karmaşık kök vardır — hesabı tamamlamadan önce bu adım size denklemin "şeklini" gösterir.

Yukarıdaki "Kökleri Bul" sekmesine katsayıları girip Hesapla'ya bastığınızda, araç Δ'yı otomatik hesaplar ve adım adım gösterim ile hangi kök türüne karşılık geldiğini açıklar.

Karmaşık kökler ne işe yarar, gerçek hayatta kullanılır mı?

Δ<0 olduğunda ortaya çıkan karmaşık kökler soyut bir kavram gibi görünse de elektrik mühendisliğinde alternatif akım devrelerinin analizinde, kontrol sistemlerinde kararlılık incelemesinde ve sinyal işlemede yaygın olarak kullanılır. Matematiksel olarak, gerçek kökü olmayan bir denklemin de her zaman iki eşlenik karmaşık kökü olduğunu garanti eder.

Bu araç, Δ<0 durumunda kökleri doğrudan a+bi biçiminde gösterir ve grafik özetinde parabolün x-eksenine neden değmediğini açıklar.

Kökten (Vieta'nın tersinden) denklem nasıl kurulur?

İki kökü bilindiğinde denklemi kurmak için Vieta formülleri tersten kullanılır: b = −a(x1+x2) ve c = a·x1·x2 hesaplanır, ardından ax²+bx+c=0 yazılır. a=1 seçilirse en sade biçim elde edilir.

"Köklerden Denklem" sekmesine iki gerçek kökü (veya karmaşık kök için p ve q'yu) girin; araç b ve c katsayılarını hesaplayıp denklemi kurar ve isterseniz kökleri tekrar çözerek doğrular.

Bu hesaplayıcıyı sitene ekle

Aşağıdaki kodu kendi sitene yapıştırarak ikinci derece denklem çözücüyü ücretsiz gömebilirsin.

<iframe src="https://biraracta.com/ikinci-derece-denklem/?mod=kokbul&a=1&b=-5&c=6"
  width="100%" height="720" style="border:0;border-radius:14px"
  title="İkinci Derece Denklem Çözücü" loading="lazy"></iframe>

Sık sorulan sorular

İkinci derece denklem nasıl çözülür?

Önce denklem ax²+bx+c=0 biçimine getirilir. Diskriminant Δ=b²−4ac hesaplanır ve x=(−b±√Δ)/2a karekök formülü uygulanır. Δ>0 ise iki farklı gerçek kök, Δ=0 ise tek (çift) gerçek kök, Δ<0 ise a+bi biçiminde iki karmaşık kök bulunur. Kökler Vieta formülleriyle (x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a) doğrulanabilir.

Diskriminant nedir?

Diskriminant, ikinci derece denklemin kök yapısını belirleyen Δ=b²−4ac ifadesidir. Karekök formülünün içindeki kök alınacak terimdir ve işaretine göre kaç gerçek kök olduğunu, kökün tek mi çift mi karmaşık mı olduğunu doğrudan söyler; denklemi çözmeden önce hesaplanan ilk adımdır.

Delta negatifse ne olur?

Δ<0 olduğunda denklemin gerçek kökü yoktur; kökler birbirinin eşleniği olan iki karmaşık sayıdır ve x=a+bi ile x=a−bi biçiminde yazılır. Grafikte bu durum, parabolün x-eksenini hiç kesmediği anlamına gelir: a>0 ise parabol tamamen x-ekseninin üstünde, a<0 ise tamamen altında kalır.

Kök bulma formülü nedir?

Kök bulma (karekök) formülü x=(−b±√(b²−4ac))/(2a) şeklindedir. Katsayılar a, b, c yerine yazılır, önce diskriminant b²−4ac hesaplanır, karekökü alınır ve ± işaretiyle iki kök (veya Δ=0 ise tek kök) elde edilir. a=0 olduğunda denklem ikinci derece olmaktan çıkar.

Vieta formülleri nedir?

Vieta formülleri, ax²+bx+c=0 denkleminin köklerinin katsayılarla ilişkisini verir: kökler toplamı x1+x2=−b/a, kökler çarpımı x1·x2=c/a'dır. Bu formüller, denklemi çözmeden köklerin toplam/çarpımını bulmaya, bulunan kökleri doğrulamaya ve kökten denklem kurmaya yarar.

Parabolün tepe noktası nasıl bulunur?

y=ax²+bx+c parabolünün tepe noktasının x-koordinatı h=−b/(2a), y-koordinatı ise k=c−b²/(4a) (eşdeğer olarak k=−Δ/4a) formülüyle bulunur. a>0 ise tepe noktası parabolün en düşük (minimum), a<0 ise en yüksek (maksimum) noktasıdır ve simetri ekseni x=h doğrusudur.

Çarpanlarına ayırma ne zaman mümkündür?

Bir ikinci derece ifade, gerçek sayılarda ancak diskriminant Δ≥0 olduğunda a(x−x1)(x−x2) biçiminde çarpanlarına ayrılabilir; x1 ve x2 gerçek köklerdir. Δ=0 durumunda ifade a(x−x1)² olarak tam kare biçiminde yazılır. Δ<0 ise gerçek sayılarda çarpanlara ayrılamaz, yalnızca karmaşık sayılarla mümkündür.

Tam kareye tamamlama nedir?

Tam kareye tamamlama, ax²+bx+c ifadesini a(x−h)²+k biçimine dönüştürme yöntemidir; burada h=−b/(2a) ve k=c−b²/(4a) tepe noktası koordinatlarıdır. Bu biçim hem denklemi kök bulma formülü türetmeden çözmeye hem de parabolün tepe noktasını doğrudan okumaya yarar.

Kökler kesin (radikal/kesir) biçimde nasıl gösterilir?

Kesin sonuç, x=(−b±√Δ)/2a formülündeki karekök sadeleştirilerek bulunur: Δ tam kare değilse √Δ=g√m biçiminde en sade radikale iner (ör. x=(3±√17)/2), tam kareyse kökler rasyonel kesir/tam sayı olarak yazılır (ör. x1=1/2, x2=−2). Bu araç, ondalık yuvarlamanın yanında sonucu bu kesin (radikal/kesir) biçimde de gösterir — sınav ve ödevlerde beklenen tam sonuç budur.

Denklemi ax²+bx+c=0 biçimine getirmeden çözebilir miyim?

Evet. Hesaplayıcının “Denklemi yapıştır” alanına serbest biçimli bir denklem (ör. x²=5x−6 veya 2x²+3x=2) yazıp Ayrıştır'a bas; araç eşitliğin iki tarafını toplayıp sadeleştirir ve a, b, c katsayılarına indirger, ardından kökleri otomatik hesaplar. x² için ² veya ^2 yazabilir, katsayılarda kesir (3/4) kullanabilirsin.

Metodoloji & kaynaklar

İkinciDerece, bağımsız ve ücretsiz bir Türkçe ikinci derece denklem çözücüdür. Hesaplama motoru, standart cebir kurallarını doğrudan uygular: diskriminant Δ=b²−4ac ile kök türü belirlenir, gerçek köklerde karekök formülü x=(−b±√Δ)/2a, karmaşık köklerde x=−b/2a ± (√|Δ|/2a)i kullanılır; tepe noktası tam kareye tamamlama ile, kök doğrulaması ise Vieta formülleriyle (x1+x2=−b/a, x1·x2=c/a) yapılır.

Kaynaklar: Klasik cebir ve analitik geometri (karekök/diskriminant yöntemi, Vieta teoremleri, tam kareye tamamlama). Bu kurallar zamanla değişmeyen matematiksel gerçeklerdir; yıllık veri güncellemesi gerektirmez. Son güncelleme: 17 Temmuz 2026.

İkinci derece denklem nedir, nasıl çözülür?

Diskriminant (Δ) nedir ve nasıl yorumlanır?

Delta negatifse ne olur? (karmaşık kökler)

Kök bulma formülü (karekök formülü) nedir?

Vieta formülleri nedir?

Parabolün tepe noktası nasıl bulunur?

Çarpanlarına ayırma ve tam kareye tamamlama

İlgili hesaplayıcılar: tepe noktası, doğrusal denklem & Vieta

Referans tabloları & örnekler

Denklem terimleri sözlüğü

Derinlemesine rehberler

Bu hesaplayıcıyı sitene ekle

Sık sorulan sorular

Metodoloji & kaynaklar

🧮 İlgili Araçlar

🔗 Bu aracı sitene ekle