Formül rehberi
Yayın: 17 Temmuz 2026
7 dk okuma
nCr ve nPr Formülleri Nasıl Kullanılır?
Formülü ezbere yazabilmek başka, doğru uygulayabilmek başka. Bu rehberde nCr = n!/(r!(n−r)!) ve nPr = n!/(n−r)! formüllerini adım adım nasıl uygulayacağınızı, sık yapılan hataları ve sonucu saniyeler içinde doğrulayacağınız hızlı kontrol yöntemini gösteriyoruz.
nPr formülü nasıl adım adım uygulanır?
Kısa cevap
nPr = n! / (n−r)! formülünü uygularken tam n! hesaplamaya gerek yoktur: n'den başlayıp geriye doğru tam r tane ardışık sayıyı çarpmak yeterlidir. Örnek: 8P3 = 8 × 7 × 6 = 336 (n! ve (n−r)!'yi ayrı ayrı hesaplayıp bölmeye gerek kalmaz).
Adımlar şöyledir:
- n ve r'yi belirleyin. Örnek: n=8, r=3.
- n'den başlayarak r tane ardışık sayı yazın: 8, 7, 6 (üç tane, çünkü r=3).
- Bu sayıları çarpın: 8 × 7 × 6 = 336.
Bu kısayol, n! / (n−r)! formülünün cebirsel olarak sadeleşmiş hâlidir: n! = n×(n−1)×...×(n−r+1)×(n−r)! olduğundan, (n−r)!'ler birbirini götürür ve geriye sadece ilk r terim kalır.
nCr formülü nasıl adım adım uygulanır?
Kısa cevap
nCr = n! / (r! × (n−r)!) formülü için önce nPr'yi (n'den başlayan r terimlik çarpım) bulun, sonra r!'ye bölün. Örnek: 8C3 = (8×7×6) / (3×2×1) = 336 / 6 = 56.
Adımlar:
- Önce nPr'yi hesaplayın (n'den başlayan r terimlik çarpım): 8×7×6 = 336.
- r! hesaplayın: 3! = 3×2×1 = 6.
- nPr'yi r!'ye bölün: 336 / 6 = 56.
Bu yöntem, klasik "önce üç ayrı faktöriyel hesapla, sonra böl" yaklaşımından çok daha hızlıdır — özellikle elle veya kafadan hesaplarken büyük faktöriyellerle (ör. 8! = 40.320) uğraşmak yerine sadece gerekli terimleri çarparsınız.
8C3 hesaplama — iki yöntemin karşılaştırması
| Yöntem | İşlem | Sonuç |
|---|
| Klasik (3 faktöriyel) | 8! / (3! × 5!) = 40.320 / (6 × 120) | 56 |
| Kısayol (nPr / r!) | (8×7×6) / (3×2×1) = 336 / 6 | 56 |
Her iki yöntem de aynı sonucu verir; kısayol daha az işlem gerektirir.
Adım adım açılımı otomatik görün
Kendi n ve r değerlerinizi girin, hesaplayıcı nPr ve nCr'yi BigInt ile kesin hesaplayıp her adımı gösterir.
Hesaplayıcıyı Aç →
nCr/nPr hesaplarken en sık yapılan 3 hata
Kısa cevap
En sık hatalar: (1) nCr yerine yanlışlıkla nPr formülünü kullanmak (r!'ye bölmeyi unutmak), (2) r! ile (n−r)!'yi karıştırmak, (3) r > n olan geçersiz girdilerle işlem yapmaya çalışmak. Her üçü de sonucu tamamen yanlış çıkarır.
- Hata 1 — r!'ye bölmeyi unutmak: "10 kişiden 3 kişilik takım" sorusuna 10P3=720 cevabını vermek yaygın bir hatadır; doğru cevap 10C3=120'dir, çünkü takımda sıra/rol yoktur.
- Hata 2 — payda karışıklığı: nCr formülünde r! ve (n−r)!'nin ikisi de paydadadır; sadece birini yazıp diğerini unutmak sonucu büyük ölçüde şişirir.
- Hata 3 — geçersiz r: r, n'den büyük olamaz (0 ≤ r ≤ n). r=n ise nCr=1 (sadece bir tam seçim vardır), r=0 ise de nCr=1'dir (hiçbir şey seçmemenin tek bir yolu vardır).
Sonucu hızlıca nasıl kontrol ederim?
Kısa cevap
En hızlı kontrol yöntemi simetri kuralıdır: nCr = nC(n−r). Örneğin 10C3, 10C7'ye eşit olmalıdır (ikisi de 120). Ayrıca nPr = nCr × r! ilişkisini kullanarak iki sonucu çapraz doğrulayabilirsiniz — biri diğerinin r! katı değilse bir yerde hata vardır.
Ek olarak uç değerleri kontrol edin: r=0 için sonuç her zaman 1, r=n için nCr her zaman 1 (ama nPr = n!) olmalıdır. Bu üç kontrolü (simetri, nPr/nCr oranı, uç değerler) uyguladığınızda elle yapılan hesaplarda hataları anında yakalarsınız.
Büyük sayılarda formül nasıl uygulanır? (n=50, n=100...)
Kısa cevap
n büyüdükçe (ör. n=50, n=100) tam n! hesaplamak pratik değildir — sonuç astronomik büyür ve standart hesap makineleri "Infinity" verir. Bunun yerine artımlı formül kullanılır: C(n,k) = C(n,k−1) × (n−k+1) / k. Bu yöntem her adımda tam sayı sonucu garanti eder ve online hesaplayıcılar bunu BigInt ile uygular.
Neden "Infinity" hatası olur? JavaScript'in ve çoğu hesap makinesinin kullandığı kayan noktalı (double) sayı tipi yaklaşık 1,79×10³⁰⁸'e kadar değer tutabilir. 171! bu sınırı aşar.
KombPerm hesaplayıcısı BigInt kullandığı için bu sınırı umursamaz ve binlerce basamaklı sonuçları bile kesin verir.
Sık sorulan sorular
nCr formülü nedir ve nasıl uygulanır?
nCr = n! / (r! × (n−r)!) formülüdür. Uygulamak için önce n!, r! ve (n−r)! ayrı ayrı hesaplanır, sonra n! payda olan r!×(n−r)!'ye bölünür. Örnek: 8C3 = 8!/(3!×5!) = 40320/(6×120) = 56.
nPr formülü nedir ve nasıl uygulanır?
nPr = n! / (n−r)! formülüdür. Pratikte n'den başlayıp r tane ardışık sayıyı çarpmak yeterlidir, tam n! hesaplamaya gerek yoktur. Örnek: 8P3 = 8×7×6 = 336.
nCr hesaplarken en sık yapılan hata nedir?
En sık hata, r! ile (n−r)!'yi karıştırmak ya da payda çarpımını unutmaktır. İkinci sık hata, nCr yerine yanlışlıkla nPr formülünü kullanmaktır (r!'ye bölmeyi atlamak). Sonucu her zaman nPr/r! ile çapraz kontrol etmek hatayı yakalamanın en hızlı yoludur.
Büyük sayılarda nCr/nPr nasıl kolayca hesaplanır?
n büyüdükçe tam n! hesaplamak yerine, nCr için pay ve paydayı adım adım sadeleştiren artımlı formül (C(n,k) = C(n,k−1) × (n−k+1)/k) kullanılır; bu yöntem her adımda tam sayı sonucu garanti eder. Online hesaplayıcılar bu yöntemi BigInt ile kullanır.
Metodoloji & kaynaklar. Bu yazıdaki tüm örnek hesaplar KombPerm'in açık BigInt hesaplama motoruyla doğrulanmıştır. Kaynaklar: Klasik kombinatorik/olasılık tanımları. Son güncelleme: 17 Temmuz 2026. Yazı eğitim ve bilgilendirme amaçlıdır.