Sin, Cos, Tan Nasıl Hesaplanır? (Örneklerle)
Trigonometrinin üç temel oranı sinüs (sin), kosinüs (cos) ve tanjant (tan), bir açıyı bir orana bağlar. Bu rehberde bu oranların ne anlama geldiğini, hesap makinesinde nasıl doğru hesaplanacağını, derece ile radyan farkını ve sık kullanılan açıların değerlerini örneklerle anlatıyoruz.
Sin, cos, tan nasıl hesaplanır? (kısa cevap)
sin(30) = 0,5, radyan modunda sin(π/6) = 0,5 verir. Ters yönde, yani bir orandan açı bulmak için sin⁻¹ (asin), cos⁻¹ (acos), tan⁻¹ (atan) kullanılır: derece modunda asin(0,5) = 30.
Aşağıdaki örnekleri bilimsel hesap makinesinde doğrudan deneyebilirsiniz. Hesap makinesini ilk kez kullanıyorsanız "Bilimsel Hesap Makinesi Nasıl Kullanılır?" rehberiyle başlamanız iyi olur.
Sin, cos, tan nedir? (dik üçgende)
Bir dik üçgende, seçtiğiniz açıya göre kenarlar üç grupta toplanır: karşı kenar, komşu kenar ve hipotenüs (en uzun, dik açının karşısındaki kenar). Üç temel oran şöyle tanımlanır:
- sin (sinüs) = karşı kenar / hipotenüs
- cos (kosinüs) = komşu kenar / hipotenüs
- tan (tanjant) = karşı kenar / komşu kenar =
sin / cos
Trigonometrik oranlar yalnızca dik üçgenle sınırlı değildir; birim çember üzerinde her açı için tanımlıdırlar. Bu yüzden sin(120) veya cos(210) gibi 90°'den büyük açılar da hesaplanabilir.
Derece mi radyan mı? Neden bu kadar önemli?
sin(1) derece modunda ≈ 0,01745, radyan modunda ≈ 0,84147'dir. Okul geometrisinde derece, üniversite matematiği ve fizikte radyan kullanılır. Hesaplamadan önce doğru modu seçtiğinizden emin olun.
Dönüşüm formülü basittir: radyan = derece × π / 180. Böylece:
- 180° = π radyan ≈ 3,14159
- 90° = π/2 radyan ≈ 1,5708
- 360° = 2π radyan ≈ 6,2832
- 1 radyan ≈ 57,2958°
Sık kullanılan açıların sin, cos, tan değerleri
Aşağıdaki tablo, derece modunda en çok karşınıza çıkan açıların değerlerini gösterir. Bunları hesap makinesine girerek doğrulayabilirsiniz:
| Açı | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0,5 | 0,8660 | 0,5774 |
| 45° | 0,7071 | 0,7071 | 1 |
| 60° | 0,8660 | 0,5 | 1,7321 |
| 90° | 1 | 0 | tanımsız |
| 180° | 0 | −1 | 0 |
Kaynak: Standart trigonometrik değerler (birim çember), BirAraçta hesap motoruyla doğrulanmıştır. Ondalıklar 4 basamağa yuvarlanmıştır.
Dikkat: tan(90°) tanımsızdır. Çünkü tan = sin/cos ve cos(90°) = 0'dır; sıfıra bölme sonsuza gider. Aynı durum 270°, 450° gibi kosinüsün sıfır olduğu tüm açılarda görülür.
Kendi açını hesapla
İstediğin açının sin, cos veya tan değerini saniyede bul; ters trigonometri, hiperbolik fonksiyonlar ve radyan/derece dönüşümü de aynı araçta.
Trigonometri Hesapla →Ters trigonometri: asin, acos, atan
sin(30) = 0,5 iken tersi asin(0,5) = 30'dur (derece modunda). Hesap makinesinde 2nd tuşuyla sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ işlevlerini açar, oranı yazar ve açıyı bulursunuz.
Ters fonksiyonlar özellikle "bu oranı veren açı kaç derecedir?" sorusunda kullanılır. Örnekler (derece modu):
asin(0,5) = 30— sinüsü 0,5 olan açıacos(0,5) = 60— kosinüsü 0,5 olan açıatan(1) = 45— tanjantı 1 olan açı
Bir merdivenin duvarla yaptığı açı, bir rampanın eğimi ya da bir üçgende bilinmeyen açı gibi pratik problemlerde ters trigonometri devreye girer.
Adım adım örnek hesaplar
Örnek 1 — Rampanın eğim açısı. 5 metre yatay uzunlukta, 1 metre yükselen bir rampanın açısı: eğim oranı 1/5 = 0,2. Açı = atan(0,2) = 11,31°. Hesap makinesine derece modunda atan(0.2) yazın.
Örnek 2 — Birleşik ifade. sin(30) + cos(60) = 0,5 + 0,5 = 1. Fonksiyonları arka arkaya yazıp toplama işaretiyle birleştirebilirsiniz; parantezler otomatik açılır.
Örnek 3 — Radyan kontrolü. Radyan modunda sin(π/6) yazın; sonuç yine 0,5 çıkar çünkü π/6 radyan = 30°. Bu, açı modu ile birim arasındaki bağı gösteren iyi bir doğrulama testidir.
Faktöriyel, üs ve logaritma gibi trigonometri dışındaki fonksiyonları öğrenmek için "Faktöriyel, Üs ve Logaritma Nedir?" rehberine geçebilirsiniz.
Sık sorulan sorular
Sin, cos, tan nasıl hesaplanır?
sin(30) = 0,5.sin(30) neden 0,5?
sin(π/6) verir çünkü 30° = π/6 radyandır.tan(90) neden tanımsız / hata veriyor?
tan = sin/cos'tur ve cos(90°) = 0 olduğundan tan(90°) tanımsızdır (sonsuza gider). Hesap makinesi bu noktada çok büyük bir sayı veya hata gösterebilir. Aynı durum 270°, 450° gibi cos'un sıfır olduğu açılarda da olur.Ters trigonometri (arcsin) nasıl yapılır?
asin(0,5) = 30, acos(0,5) = 60, atan(1) = 45. Sonuç seçili açı modunun birimindedir.Derece ve radyanı nasıl çeviririm?
radyan = derece × π/180. Örneğin 90° = π/2 ≈ 1,5708 radyan; 1 radyan ≈ 57,2958°. Hesap makinesinde π sabitini kullanarak dönüşümü doğrudan yazabilirsiniz.